Le cercle qui est la figure géométrique probablement la plus simple, possède une âme. Elle s’appelle Π . C’est aussi la plus célèbre des constantes qui se cachent derrière 4000 ans de mathématiques.
Aujourd’hui je vais l’utiliser comme une super machine à remonter le temps.
Sa simplicité apparente possède de nombreuses propriétés étranges qui ont fasciné tous les peuples. Son patronyme « Π » est récent. Il date du milieu du XVIIIème siècle, suite à la publication par Euler d'un traité d'analyse.
Π vient du grec « peripheria » qui correspond à la circonférence d’un cercle, c’est aussi la seizième lettre de l’alphabet.
Son histoire s'étale sur 4 grandes périodes qui se distinguent par des méthodes d’approche très distincts.
· La nuit des temps avec l’expérimentation : « les rois de la ficelle ».
· Antiquité avec la géométrie : « La combine d'Archimède ».
· XVIIème - début XXème l'analyse: « le différentiel de Newton »
· XXe siècle calcul numérique : « super game boy ».
La plus ancienne valeur de Pi connue et prouvée, provient d'une tablette babylonienne dite de « Suse », oblitéré de 2000 avant J.-C. Sur cette tablette est comparé le périmètre du cercle avec celui de l'hexagone inscrit, égal à trois fois le diamètre ; ils en déduirent cette valeur approximative : Pi = 3 + 1/8 (soit 3,125).
Le papyrus de Rhind contient le texte, recopié vers l'an 1650 avant notre ère par le scribe égyptien Ahmès, d'un manuel de problèmes plus ancien encore (environ -2000). Le calcul mentionné par ce texte implique que Pi était évalué à (16/9)^2 (soit 3,160...).
Vers -1200 les chinois nous donne la valeur 3. Ils nous avaient habitué à mieux…
La Bible, 550 avant J.-C., décrit aussi la valeur Pi en décrivant le chaudron d’Hiram, lors de la construction du temple de Salomon :
« Il fit la mer de fonte. Elle avait dix coudées d'un bord à l'autre, une forme entièrement ronde, et une circonférence que mesurait un cordon de trente coudées. » Ce qui donne pour valeur de pi : 3
L’église un peu vexée d’une telle bourde, opéra bien plus tard un bricolage avec l’aide de la kabbale, pour obtenir la valeur de 3.1416. En précisant que dans l’émotion, on avait oublié l’épaisseur du chaudron. Ils passèrent a cote de pi mais inventèrent « super menteur ».
Tel les Shadocks, les Grecs qui voulaient remettre un peu d'ordre, réfléchissent à la quadrature du cercle...
Quadrature qui a tout de même value la prison pour cause d’impiété à Anaxagore de Clazomène. (-450)
En moins 250 Archimède de Syracuse utilisant la géométrie donna pi=3.142 avec une précision de 1/1000.
Tous ses calculs sont basés sur des considérations géométriques, sans trigonométrie ni décimales. Il inscrit et circonscrit des polynômes, et en calcul la surface. Ce n’est plus du bricolage, c’est scientifique.
C’est cette méthode dite d’Archimède qui fut utilisé pendant près de 2000 ans, a été en fait indélicatement pompée à Antiphon.
Notons au passage que Archimède a bien inventé une pompe, muni d’une vis qui porte son nom.
Loin de là, au même moment, les Mayas on probablement extrait pi avec 8 décimales, mais Diego de Landa, évêque espagnol, brûla plus tard tous les documents pouvant l’attester, en prétextant que cela était un message du Diable. On ne saura donc jamais la vérité.
Ptolémée vers 150, membre de l'école d'Alexandrie, améliorera quelque peu le résultat au moyen de tables trigonométriques pi prend pour valeur 3.1416666.
Les Romains n’étaient en effet pas très doués pour les maths. C’est assez fastidieux de diviser LVII par XCVI.
C’est peut être pour cette raison que Archimède fut assassiné par un légionnaire Romain.
En Chine vers 480 où le système décimal a toujours été utilisé, Tsu Chung Chih propose la fraction célèbre 355/113 = 3,14159292.. Soit 6 décimales.
5 : Les mille et une nuit.
Vers l’an 800, Muhammad ibn Musa Al-Khowarizimi (nom qui donna algorithme) utilise PI = 3,1416
Vers 1430, Al'Kashi un natif de Kachan (entre Ispahan et Téhéran), calcule Pi avec une précision de 14 décimales par la méthode des polygones d'Archimède. C'est la première fois dans l'histoire de l'humanité que l'on obtient plus de 10 décimales de Pi.
· 10 décimales XVème siècle.
· 100 décimales, XVIIIème siècle.
· 1000 décimales c’est le début du XXème siècle
· 206 milliards de décimales pour la fin du XXème
C'est Fibonacci, l'un des seuls grands mathématiciens de l'époque, qui s'illustre et obtient Pi=3,1418
La reprise est difficile : Mille ans de retard sur les Chinois.
A cette époque, la palme revient à un nommé Liger qui démontra la quadrature du cercle en posant comme postulat que la racine de 24 devait être égale a la racine de 25.
En 1707 Georges-Louis Leclerc Comte de Buffon, le fameux naturaliste s'intéressa aux mathématiques.statistique, et inventa le célèbre problème de l'aiguille.
3 chiffres exacts sont obtenus en lançant une aiguille environ 900 000 fois. Le principe est simple : on prend une aiguille qui a pour longueur, la largueur d’une lame de parquet. On lance l’aiguille un nombre considérable de fois, et on compte le nombre de fois ou l’on coupe la jointure de 2 lames. Le résultat du rapport est de pi sur 2. Une autre méthode similaire existe : c’est celle de Monte Carlo
A partir du XVIIIe siècle, on se pencha de plus près sur les caractéristiques du nombre pi. Ceci pour 2 raisons.
· l'Académie des Sciences promis une forte récompense pour la solution de la quadrature du siècle.
· La découverte du calcul différentiel par Newton et Leibniz.
Les chasseurs de pi devinrent des chasseurs de primes.
2 découvertes fondamentales :
· En 1761, Johann Heinrich Lambert démontra l'irrationalité du nombre pi, à savoir qu'il ne peut être écrit sous la forme d'une fraction.
· En 1882, l'Allemand Lindemann établit sa transcendance, c'est-à-dire que le nombre pi n'est racine d'aucun polynôme à coefficients entiers. Ce résultat permit de démontrer enfin l'impossibilité de la quadrature du cercle, problème consistant à déterminer un carré dont l'aire soit égale à celle d'un cercle donné. «perdue la prime»
En 1706 John Machin permit le calcul à la main de 100 décimales.
En 1874 Williams Shanks calcula les 707 décimales que le Palais de la découverte de Paris recopia sur le plafond de la salle pi. L’on découvrit en 1945 que les décimales étaient fausses à partir de la 528ème.
Une avalanche de formules.
En se basant sur les découvertes du mathématicien hindou Srinivasa Ramanujan, le canadien Simon Plouffe découvrit une formule bouleversante. Cette formule possède la propriété inattendue d'autoriser le calcul des décimales binaires du nombre pi indépendamment les unes des autres, ce que tout le monde croyait impossible.
On connaît plus de 206 milliards de décimales. Ce défi n'est qu'un pur défi intellectuel, car pour calculer la circonférence d'un cercle qui aurait le diamètre de la partie connue de l'Univers avec une précision de la taille d'un proton, 39 décimales suffiraient et on en connaît 34 depuis 1609.
En 1995 une publication officielle, apporte que dans le Génome d'un poisson d'Afrique (la dipneuse), on trouve sur le chromosome 3, une séquence fortement liée à la constante pi, jusqu'à la 193 décimales. Seule la 43eme semblait erronée. Quelques années plus tard une autre publication met en évidence une erreur expérimentale et tout rentrait dans l'ordre, les 193 décimales étaient bonnes.
La probabilité d'une coïncidence est infinitésimale. Alors pourquoi la nature a eu besoin de pi ?
L’hypothèse émise c’est que pour fabriquer les cellules parfaitement sphériques de l'hypophyse de ce poisson, ADN a besoin de pi.
Il y a 2 ans, un scientifique moins neuneu que les autres, découvrit que la première publication datait d’un 1er avril.
La valeur du nombre pi la plus précise :
· 206'158'430'000 46 heures et 900 Go de Ram
La valeur du nombre pi la moins précise
· Le général de l'assemblée de l'Indiana en 1897 déclara pi = 4
· Le Vatican avec pi 12
Mémorisation du nombre pi
· Un Japonais de 21 ans récita 42'195 décimales.
Générateur de chiffres pseudo aléatoire. Des series du style 123456789 semble impossible : mais Comme le disait Aristote, l'improbable a toutes les chances de se produire...
La hauteur d'un éléphant (des pieds aux épaules) est : 2 * pi * le diamètre de ses pieds.
La probabilité de tirer exactement n piles et n faces parmi 2n lancers de pièces est 1/racine(pi*n)
La probabilité pour que deux nombres pris au hasard n'aient pas de diviseur commun est égale à 6/pi^2.
La résolution du problème de la boite d’anchois.
La définition de la plaque d’égout.
Comment flotte un cube ?
La trajectoire d'une rustine sur une roue de bicyclette
Si on entoure la Terre à l'équateur par une corde (en considérant que le rayon de la terre est constant à l'équateur) pour que la corde soit à 1m du sol partout autour de la Terre, il suffit d'allonger la corde de 2*pi mètres, et cela est valable quel que soit le rayon de la Terre et marche aussi bien avec une bille qu'avec Jupiter.
3, 141 592 653 5
Que j'aime à faire connaître ce nombre utile aux sages!
Piv a zebr a-walc'h dimerc'her? Ne lavaro netra, tud Breizh!
Présenté par JRLF le 19 avril 2002